الرياضيات المتناهية الأمثلة

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$0$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$4 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 0$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

خطوة 4.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

خطوة 4.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - 2 \cdot 0 + 48 (0)$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$0 + 0 + 48 (0)$

خطوة 4.1.5

اضرب $48$ في $0$ .

$0 + 0 + 0$

خطوة 4.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 0$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $0$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 0$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x}{x + 0}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(4)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

	$4$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(4)$ في المقسوم عليه $(0)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 2)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$	$- 2$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 2)$ في المقسوم عليه $(0)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(48)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(48)$ في المقسوم عليه $(0)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$4 x^{2} + - 2 x + 48$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$4 x^{2} - 2 x + 48$

خطوة 7

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2} - 2 x + 48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2}$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) - 2 x + 48)$

خطوة 7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 48)$

خطوة 7.3

أخرِج العامل $2$ من $48$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (24))$

خطوة 7.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x) + 2 (24))$

خطوة 7.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{2} - x) + 2 (24)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x + 24))$

خطوة 8

أخرِج العامل $2 x$ من $4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $2 x$ من $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 2 x^{2} + 48 x = 0$

خطوة 8.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 48 x = 0$

خطوة 8.3

أخرِج العامل $2 x$ من $48 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (24) = 0$

خطوة 8.4

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24) = 0$

خطوة 8.5

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24)$ .

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $2 x^{2} - x + 24$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $2 x^{2} - x + 24$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x^{2} - x + 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 11.2.2

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = - 1$ و $c = 24$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 24)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.3.1.2.2

اضرب $- 8$ في $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.3.1.3

اطرح $192$ من $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 191$ بالصيغة $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (191)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

خطوة 11.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.4.1.2.2

اضرب $- 8$ في $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.4.1.3

اطرح $192$ من $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 191$ بالصيغة $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (191)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

خطوة 11.2.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}$

خطوة 11.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.5.1.2.2

اضرب $- 8$ في $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.5.1.3

اطرح $192$ من $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 191$ بالصيغة $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (191)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.2.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

خطوة 11.2.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

خطوة 11.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

خطوة 12

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

خطوة 13